Question

设f（x）=log_a（1-

2

x

）（a＞0且a≠1），将y=f（x）的图象向左平移1个单位得到y=g（x）的图象，F（x）=

1+ax

1-ax

．
（1）设关于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（3）当0＜a≤

1

2

时，试比较|

n

k=1

F（k）-n|与4的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出g（x），log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t的范围；
（2）a=e求出g（2）+g（3）+…+g（n），利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；
（3）利用放缩法，求出|

n

k=1

F（k）-n|的取值范围，最后推出小于4即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=log_a（1-

2

x+1

）=log_a

x-1

x+1

，
∴log_a

t

(x2-1)(7-x)

=log_a

x-1

x+1

，
关于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在区间[2，6]上有实数解
?t=（x-1）²（7-x）区间[2，6]上有实数解，
令h（x）=（x-1）²（7-x），h′（x）=2（x-1）（7-x）-（x-1）²=（x-1）（15-3x），
令h′（x）=0，则x=1（舍去）或x=5．在x=5处导数左正右负，
故x=5时取极大值，也为最大值32，
当x=2时，取最小值且为5．故t的取值范围是[5，32]；
（2）g（2）+g（3）+…+g（n）=ln（

1

3

×

2

4

×…×

n-1

n+1

）=-ln

n(n+1)

2

，
令u（z）=-lnz-

1-z2

z

=-2lnz+z-

1

z

，u′（z）=-

2

z

+1+

1

z2

=（1-

1

z

）²≥0，
∴u（z）在（0，+∞）递增，
∵

n(n+1) 2

＞1，∴u（

n(n+1) 2

）＞u（1）=0，
即有ln

2

n(n+1)

＞

1- n(n+1) 2

n(n+1) 2

，
故g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

．
（3）设a=

1

1+p

，则p≥1，1＜F（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3．
当a=1，|F（1）-1|=

2

p

≤2＜4，
当n≥2时，设k≥2，k∈N*，
F（k）=

(1+p)k+1

(1+p)k-1

=1+

2

(1+p)k-1

=1+

2

C 1 k p +C 2 k p2+… +C k k pk

∴1＜F（k）≤1+

2

C 1 k +C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，
从而u-1≤

n

k=1

F（k）≤n-1+

4

2

-

4

n+1

=n+1-

4

n+1

＜n+1．
∴a＜

n

k=1

F（k）＜F（1）+n+1≤n+4．
综上总有，当0＜a≤

1

2

时，|

n

k=1

F（k）-n|≤4．

点评：本题考查指数、对数函数、方程、不等式、导数的应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析问题和解决问题的能力．