Question

已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个说法：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂，②点（π，0）是f（x）的一个对称中心，
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数，④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称．
其中正确说法的序号是

 

．（只填写序号）

Answer 1

考点：二倍角的正弦,正弦函数的单调性

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：化简函数f（x）=cosxsinx为：f（x）=

1

2

sin2x，利用奇函数判断①的正误；函数的对称中心判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．

解答： 解：函数f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
因为它是奇函数，又是周期函数，所以①不正确；
∵f（π）=0，∴点（π，0）是f（x）的一个对称中心，正确；
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；正确；
④当x=

3π

4

时f（x）取得了最小值，故x=

3π

4

是对称轴，所以正确．
故答案为：②③④．

点评：本题是基础题，考查三角函数式的化简，基本函数的性质，掌握基本函数的性质是本题解答的根据，强化基本知识的学习，才能提高数学知识的应用．