Question

给出下列命题：
①函数y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函数；
②存在实数x，使sinx+cosx=2；
③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
⑤函数y=sin（2x+

π

3

）的图象关于点(

π

12

，1)成中心对称．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：利用诱导公式化简判断①；化积后求出sinx+cosx的最值判断②；举例判断③；分别求解三角函数值判断④⑤．

解答： 解：对于①，∵y=cos（

2

3

x+

π

2

）=-sin

2

3

x，
∴函数y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函数，命题①正确；
对于②，∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴不存在实数x，使sinx+cosx=2，命题②错误；
对于③，α=60°，β=390°是第一象限角且α＜β，tanα＞tanβ，命题③错误；
对于④，当x=

π

8

时，y=sin（2x+

5π

4

）=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=-1，
∴x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
对于⑤，当x=

π

12

时，y=sin（2x+

π

3

）=sin(2×

π

12

+

π

3

)=1．
∴x=

π

12

是函数y=sin（2x+

π

3

）的一条对称轴，命题⑤错误．
∴正确命题的序号为①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．