Question

7．已知函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正切函数的定义域求得f（x）的定义域．
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最值．
（3）根据正弦函数的增区间，求得f（x）的增区间．

解答 解：（1）对于函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x，由2x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得 x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得函数的定义域为{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
（2）∵（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
又∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为-1，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正切函数的定义域，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域、单调区间，属于中档题．