Question

13．已知f_n（x）=C_n⁰xⁿ-C_n¹（x-1）ⁿ+…+（-1）^kC_n^k（x-k）ⁿ+…+（-1）ⁿC_nⁿ（x-n）ⁿ，其中x∈R，n∈N^*，k∈N，k≤n．
（1）试求f₁（x），f₂（x），f₃（x）的值；
（2）试猜测f_n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用组合数公式直接计算；
（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．

解答 解：（1）f₁（x）=${C}_{1}^{0}$x-${C}_{1}^{1}$（x-1）=x-x+1=1，
f₂（x）=${C}_{2}^{0}{x}^{2}$-${C}_{2}^{1}（x-1）^{2}$+${C}_{2}^{2}（x-2）^{2}$=x²-2（x²-2x+1）+（x²-4x+4）=2，
f₃（x）=${C}_{3}^{0}$x³-${C}_{3}^{1}$（x-1）³+${C}_{3}^{2}$（x-2）²-${C}_{3}^{3}$（x-3）³=x³-3（x-1）³+3（x-2）³-（x-3）³=6，
（2）猜想：f_n（x）=n!．
证明：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设n=k时猜想成立，即f_k（x）=C_k⁰x^k-C_k¹（x-1）^k+${C}_{k}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kC_k^k（x-k）^k=k!，
则n=k+1时，f_k（x）=C${\;}_{k+1}^{0}$x^k+1-${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+1+C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+1+…+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=xC${\;}_{k+1}^{0}$x^k-（x-1）${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+（x-2）C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^k（x-k）${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[C${\;}_{k+1}^{0}$x^k-${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k+C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^k（x-k）${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k]
+[${C}_{k+1}^{1}$（x-1）^k-2C${\;}_{k+1}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kk${C}_{k+1}^{k}$（x-k）^k]+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[C${\;}_{k}^{0}$x^k-（${C}_{k}^{0}$+${C}_{k}^{1}$）（x-1）^k+（${C}_{k}^{1}{+C}_{k}^{2}$）（x-2）^k+…+（-1）^k（${C}_{k}^{k-1}$+${C}_{k}^{k}$）（x-k）^k]
+（k+1）[${C}_{k}^{0}$（x-1）^k-${C}_{k}^{1}$（x-2）^k…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k-1}$（x-k）^k]+（-1）^k+1C${\;}_{k+1}^{k+1}$（x-k-1）^k+1
=x[${C}_{k}^{0}$x^k-C_k¹（x-1）^k+${C}_{k}^{2}$（x-2）^k+…+（-1）^kC_k^k（x-k）^k]-x[${C}_{k}^{0}$（x-1）^k+${C}_{k}^{1}$（x-2）^k+…+（-1）^k-1C_k^k-1（x-k）^k+（-1）^kC${\;}_{k}^{k}$（x-k-1）^k]
+（k+1）[（x-1）^k-${C}_{k}^{1}$（x-2）^k…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k-1}$（x-k）^k+（-1）^k（x-k-1）^k]
=xk!-xk!+（k+1）k!
=（k+1）!．
∴当n=k+1时，猜想成立．

点评 本题考查了组合数公式的性质，数学归纳法证明，属于难题．