Question

8．已知函数f（x）对任意的实数x均满足f（x）=-f（2-x），且在[1，+∞）上递增，g（x）=f（1+x），且2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），则实数a的取值范围为（0，2]．

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的对称性，再判断g（x）的奇偶性和单调区间，化简不等式解得即可．

解答 解：∵函数f（x）对?x∈R满足f（x）=-f（2-x），∴f（x）的图象关于点（1，0）对称．
∵g（x）=f（1+x），f（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）为奇函数，并且在[0，+∞）是增函数．
∵2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）=g（-log₂a）=-g（log₂a），
∴3g（log₂a）≤3g（1）
即log₂a≤1=log₂2，∴0＜a≤2，
故答案为：（0，2]．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力，属于中档题．