Question

11．如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．
（1）请确定入口F的选址范围；
（2）设商业区的面积为S₁，绿化区的面积为S₂，商业区的环境舒适度指数为$\frac{S_2}{S_1}$，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；
（2）因为${S_1}=2{S_{△AEG}}=AE•AG=（{a+\frac{1}{a}}）（{1+{a^2}}）={a^3}+2a+\frac{1}{a}$，该商业区的环境舒适度指数$\frac{S_2}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}-{S_1}}}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}}}{S_1}-1=\frac{8}{S_1}-1$，所以要使$\frac{S_2}{S_1}$最大，只需S₁最小．转化为求其最小值．

解答 解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），
设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，
而EG⊥AF，故EG的斜率为$-\frac{1}{a}$，
则EG的方程为$y-a=-\frac{1}{a}（{x-1}）$，
令x=0，得${y_G}=a+\frac{1}{a}$；             
令y=0，得${x_E}=1+{a^2}$；              
由$\left\{\begin{array}{l}0＜{y_G}≤4\\ 0＜{x_E}≤2\\ 0＜BF＜4\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}\\ 0＜a≤1\\ 0＜a＜2\end{array}\right.$，
∴$2-\sqrt{3}≤a≤1$，
即入口F的选址需满足BF的长度范围是$[4-2\sqrt{3}，2]$（单位：km）．
（2）因为${S_1}=2{S_{△AEG}}=AE•AG=（{a+\frac{1}{a}}）（{1+{a^2}}）={a^3}+2a+\frac{1}{a}$，
故该商业区的环境舒适度指数$\frac{S_2}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}-{S_1}}}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}}}{S_1}-1=\frac{8}{S_1}-1$，
所以要使$\frac{S_2}{S_1}$最大，只需S₁最小．
设${S_1}=f（a）={a^3}+2a+\frac{1}{a}，a∈[2-\sqrt{3}，1]$，
则$f'（a）=3{a^2}+2-\frac{1}{a^2}=\frac{{3{a^4}+2{a^2}-1}}{a^2}=\frac{{（{3{a^2}-1}）（{{a^2}+1}）}}{a^2}=\frac{{（{\sqrt{3}a-1}）（{\sqrt{3}a+1}）（{{a^2}+1}）}}{a^2}$，
令f'（a）=0，得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（舍），
a，f'（a），f（a）的情况如下表：

a	2-$\sqrt{3}$	（2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1）$	1
f'（a）		-	0	+
f（a）		减	极小	增

故当$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即入口F满足$BF=\frac{2}{3}\sqrt{3}$km时，该商业区的环境舒适度指数最大．

点评 本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用，考查了利用导数研究函数单调性与函数最值，属中等题．