Question

已知函数f（x）=a-

2

3x+1

（a∈R）．
①是否存在实数a使得函数f（x）为奇函数？若存在，请说明理由；
②判断函数的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：①由题意，f（0）=0，从而解出a，再验证是否是奇函数即可；
②先判断后证明，利用单调性的定义证明．

解答： 解：①若存在实数a使得函数f（x）是R上的奇函数，
则满足条件f（0）=0，
则a=1．
又∵当a=1时，f（x）=1-

2

3x+1

为R上的奇函数，
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．
②函数f（x）为R上的增函数．证明如下
对任意x∈R都有3^x+≠0，∴f（x）的定义域是R，
设任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵y=3^x 在R上是增函数，
∴0＜3x1＜3x2，
∴

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0，
∴f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断与单调性的证明，属于基础题．