Question

已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到．

（Ⅱ）思路一：设，，

     

直线的方程为即且过点

，

切线方程为

由，设直线的方程为，联立方程组

由，消整理得

设，，应用韦达定理

得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得

思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线

由消去并化简得

根据直线与抛物线相切于点．得到，．

根据切点在第一象限得；由∥，设直线的方程为

由，消去整理得， 思路同上．

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，

，又

椭圆方程为．                      4分

（Ⅱ）（法一）设，，

     

直线的方程为即且过点

，

切线方程为                                    6分

因为，所以设直线的方程为，

由，消整理得          7分

，解得     ①

设，，则

∴

                 8分

直线的方程为，

点到直线的距离为                       9分

，                  10分

由①，    

（当且仅当即时，取等号）

最大

所以，所求直线的方程为：．               12分

（法二），由已知可知直线的斜率必存在，

设直线

由    消去并化简得

∵直线与抛物线相切于点．

∴，得．                      5分

∵切点在第一象限．

∴                                                 6分

∵∥

∴设直线的方程为

由，消去整理得，           7分

，解得．

设，，则

，

．  8分

又直线交轴于

 10分

当，即时，．        11分

所以，所求直线的方程为．                    12分

考点：1．椭圆、抛物线标准方程及几何性质；2．直线与圆锥曲线的位置关系．