Question

（本小题满分12分）
已知向量，，，且、、分别为 的三边、、所对的角。
（1）求角C的大小；
（2）若，，成等差数列，且，求边的长。

Answer 1

（1）（2）

此题考查了平面向量的数量积运算法则，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键
（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到其数量积为sin（A+B），又根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，得到结果为sinC，而已知数量积为-sin2C，两者相等，并利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，两边同时除以sinC，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的三边a，c及b成等差数列，利用等差数列的性质得到2c=a+b，再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简将cosC的值代入求出ab的值，接着利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，根据完全平方公式变形后，将cosC，a+b，及ab代入得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
解：（1）      …………2分
对于，
                                                        …………3分
又，
                        …………6分
（2）由，
由正弦定理得                                   …………8分
，
即                                  …………10分
由余弦弦定理，     …………11分
，              …………12分