Question

本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．
B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．
C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
D：设a、b是非负实数，求证：．

Answer 1

【答案】分析：A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解．
B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．
C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．
D、利用不等式的性质进行放缩证明，然后再进行讨论求证．
解答：解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

（方法二）证明：连接OD、BD．
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．
故AB=2BC．
B满分（10分）．由题设得
由，可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
C解：ρ²=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，
又圆与直线相切，所以，
解得：a=2，或a=-8．
D（方法一）证明：
=
=
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0．即有．
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
=
=
当a≥b时，，从而，得；
当a＜b时，，从而，得；
所以．
点评：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．