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函数的定义域为,若存在常数,使得对一切实数均成立,则称为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.
(2)若是“圆锥托底型” 函数,求出的最大值.
(3)问实数满足什么条件,是“圆锥托底型” 函数.
(1)是,不是,(2),(3)

试题分析:(1)新定义问题,必须读懂题意,严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数,即判断是否存在常数,使得对一切实数均成立,若成立必须证明,否则给出反例.本题解题关键在于常数的确定. ,所以可确定常数而由可知无论常数为什么正数,总能取较小的数比它小,即总能举个反例,如当时,就不成立.(2)本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题:存在,使得对于任意实数恒成立.即当时,,而取得最小值2,.(3)本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数满足什么条件,存在常数,使得对一切实数均成立.当时,无限制条件;当时,,需,否则若,则当时,,即不能恒成立;若,则.
试题解析:(1).,即对于一切实数使得成立,“圆锥托底型” 函数.          2分
对于,如果存在满足,而当时,由,得,矛盾,不是“圆锥托底型” 函数.     5分
(2)是“圆锥托底型” 函数,故存在,使得对于任意实数恒成立.
时,,此时当时,取得最小值2,     9分
而当时,也成立.
的最大值等于.        10分
(3)①当时,,无论取何正数,取,则有
不是“圆锥托底型” 函数.      12分
②当时,,对于任意,此时可取是“圆锥托底型” 函数.      14分
③当时,,无论取何正数,取.有不是“圆锥托底型” 函数.      16分
④当时,,无论取何正数,取,有不是“圆锥托底型” 函数.
由上可得,仅当时,是“圆锥托底型” 函数.    18分
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