试题分析:(1)新定义问题,必须读懂题意,严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数,即判断是否存在常数
,使得
对一切实数
均成立,若成立必须证明,否则给出反例.本题解题关键在于常数
的确定.
,所以可确定常数
而由
可知无论常数
为什么正数,
总能取较小的数比它小,即总能举个反例,如当
时,
就不成立.(2)本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题:存在
,使得
对于任意实数恒成立.即当
时,
,而
取得最小值2,
.(3)本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数
、
满足什么条件,存在常数
,使得
对一切实数
均成立.当
时,
,
、
无限制条件;当
时,
,需
,否则若
,则当
时,
,即
不能恒成立;若
,则
.
试题解析:(1).
,即对于一切实数
使得
成立,
“圆锥托底型” 函数. 2分
对于
,如果存在
满足
,而当
时,由
,
,得
,矛盾,
不是“圆锥托底型” 函数. 5分
(2)
是“圆锥托底型” 函数,故存在
,使得
对于任意实数恒成立.
当
时,
,此时当
时,
取得最小值2,
9分
而当
时,
也成立.
的最大值等于
. 10分
(3)①当
,
时,
,无论
取何正数,取
,则有
,
不是“圆锥托底型” 函数. 12分
②当
,
时,
,对于任意
有
,此时可取
是“圆锥托底型” 函数. 14分
③当
,
时,
,无论
取何正数,取
.有
,
不是“圆锥托底型” 函数. 16分
④当
,
时,
,无论
取何正数,取
,有
,
不是“圆锥托底型” 函数.
由上可得,仅当
时,
是“圆锥托底型” 函数. 18分