Question

20．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图1的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅．
（1）求图中a的值并估算该企业产品质量指标的平均值；
（2）如图2是统计图中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；
（3）从质量指标值分布在[80，90），[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值．累指各组组中与频率的乘积，可得平均值的估算值；
（2）由频率分布直方图可求A₁，A₂，A₃，A₄，A₅的值，由程序框图可得S=A₂+A₃+A₄，代入即可求值．
（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x₁，x₂，x₃，x₄，质量指标在[80，90）的1件产品为y₁，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）．

解答 解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1
解得：a=0.005，
由（0.005×85+0.02×115+0.03×105+0.04×95+0.005×125）×10=103，
故该企业产品质量指标的平均值约为103件；
（2）A₁=0.005×10×20=1，A₂=0.040×10×20=8，A₃=0.030×10×20=6，A₄=0.020×10×20=4，A₅=0.005×10×20=1
故输出的S=A₂+A₃+A₄=18
（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x₁，x₂，x₃，x₄，质量指标在[80，90）的1件产品为y₁，
则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，x₄），（x₁，y₁），（x₂，x₃），
（x₂，x₄），（x₂，y₁），（x₃，x₄），（x₃，y₁），（x₄，y₁）共10种，
记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，
则事件A中包含的基本事件为：（x₁，y₁），（x₂，y₁），（x₃，y₁），（x₄，y₁）共4种
所以可得：P（A）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．
即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为$\frac{2}{5}$

点评 本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．