Question

已知函数f（x）=

∫

x 0

（e^t-e^-t）dt，则不等式f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）的解集为（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[2，+∞）
• C、[

  1

  2

  ，2]
• D、（0，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）

Answer 1

考点：定积分,对数的运算性质

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求定积分得到函数f（x）的解析式，代入f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）整理，然后利用函数g（x）=e^x+e^-x的单调性得到-1≤log_a2≤1．求解对数不等式得答案．

解答： 解：∵f（x）=

∫

x 0

（e^t-e^-t）dt=(et+e-t)

|

x 0

=e^x+e^-x-2，
∴f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）等价于
eloga2+e-loga2-2+eloga

1

2

+e-loga

1

2

-2≤2(e+

1

e

-2)．
即2(eloga2+e-loga2-2)≤2(e+e-1-2)．
eloga2+e-loga2≤e+e-1．
令g（x）=e^x+e^-x，g′（x）=e^x-e^-x为增函数，
又g（0）=0．
∴当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．
∴由eloga2+e-loga2≤e+e-1得：-1≤log_a2≤1．
解得：0＜a≤

1

2

或a≥2．
∴不等式f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）的解集为（0，

1

2

]∪[2，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查了定积分，考查了对数的运算性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中高档题．