Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为A₁C₁和BC的中点．
（1）求证：EF∥平面AA₁B₁B
（2）若AA1=3，AB=2

3

，求直线EF与平面ABC的角．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中点D，连接DE、BD．利用三角形中位线定理，我们可以得到四边形BDEF为平行四边形，进而得到BD∥EF，结合线面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）取AC的中点H，连接HF．由直三棱柱几何特征，我们可得∠EFH即为直线EF与平面ABC所成的角，解△EFH即可得到答案．

解答：证明：（1）取A₁B₁的中点D，连接DE、BD．

∵E是A1C1的中点∴DE ∥ . . 1 2 B1C1 又BC ∥ . . B1C1，BF= 1 2 BC ∴DE ∥ . . BF 则四边形BDEF为平行四边形 ∴BD∥EF 又BD?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B ∴EF∥平面AA1B1B

（2）取AC的中点H，连接HF．

∵EH∥AA1，AA1⊥平面ABC ∴EH⊥平面ABC，∠EFH就是EF与平面ABC所成的角 在直角三角形EHF中，FH= 3 ，EH=AA1=3 ∴∠EFH=60° 故EF与平面ABC所成的角为60°

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直及平行的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题 的关键．