Question

1．已知函数f（x）=2cos（πx）•cos²$\frac{φ}{2}$-sin（πx）•sinφ-cos（πx）（0≤φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则图中的x₀的值为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 利用已知及三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=cos（πx+φ），又图象过点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），结合范围0≤φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，由图象可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2-$\frac{π}{6}$，即可解得x₀的值．

解答 解：∵f（x）=2cos（πx）•cos²$\frac{φ}{2}$-sin（πx）•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•（1+cosφ）-sin（πx）•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•cosφ-sin（πx）•sinφ
=cos（πx+φ），
又由函数图象可知，图象过点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cosφ，
∴结合范围0≤φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴由图象可得：cos（πx₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2-$\frac{π}{6}$，解得：x₀=$\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了计算能力和数形结合思想的应用，其中求φ的值是解题的关键，属于中档题．