Question

20．已知函数f（x）=x³-3x²-9x-3
（1）若函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=-9x+b，求b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导数，f′（x）=3x²-6x-9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x₀的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；
（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9，
根据题意，$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}-9=-9$；
∴x₀=0，或2；
∴①当x₀=0时，f（x₀）=-3；
∴切线方程为y=-9x-3；
∴b=-3；
②当x₀=2时，f（x₀）=-25；
切线方程为y=-9x-7；
∴b=-7；
（2）f′（x）=3（x-3）（x+1）；
∴x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；
∴f（x）的极大值为f（-1）=2，f（x）的极小值为f（3）=-30．

点评 考查函数在函数图象上某点的导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及二次函数的图象，极大值和极小值的概念及求法．