Question

关于函数y=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称；
②函数y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
③函数y=f（x）在（

2π

3

，π）上单调递增；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍．
其中正确的命题序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①当代入x=-

π

6

，求出函数值，判断是否为最值，即可判断；②由y=sinx的对称中心（kπ，0）（k为整数），即可判断；③由y=sinx的增区间得，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，化简即可判断；
④由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂ 是半个周期的整数倍，即可判断．

解答： 解：①当x=-

π

6

时，y=4sin（-

π

3

+

π

3

）=0，不为最值，故①错；
②由y=sinx的对称中心（kπ，0）（k为整数）可知，函数y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，故②对；
③由y=sinx的增区间得，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，（

2π

3

，π）
⊆[π-

5π

12

，π+

π

12

]，故③对；
④由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂ 是半个周期的整数倍，即x₁-x₂ =k•

1

2

π，k∈Z，故④不正确．
故答案为：②③

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．