Question

20．某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用card（M）表示有限集合M中元素的个数．已知card（A∩B）=60，card（A∩C_UB）=140，card（C_UA∩B）=100，其中U表示800名学生组成的全集．
（Ⅰ）是否有99.9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”；
（Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为x，求x的分布列和数学期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
参考数据：

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得列联表，可计算K²≈16.667＞10.828，可得结论；
（Ⅱ）可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是$\frac{3}{8}$，则X～B（3，$\frac{3}{8}$），P（X=k）=${C}_{8}^{k}$（$\frac{3}{8}$）^k（$\frac{5}{8}$）^8-k，k=0，1，2，3，计算可得各个概率，可得分布列，进而可得期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得列联表：

	语文优秀	语文不优秀	总计
英语优秀	60	100	160
英语不优秀	140	500	640
总计	200	600	800

因为K²=$\frac{800（60×500-100×140）2}{160×640×200×600}$≈16.667＞10.828，
所以有99.9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”． …（6分）
（Ⅱ）由已知数据，语文、英语两科成绩至少一科为优秀的频率是$\frac{3}{8}$．
则X～B（3，$\frac{3}{8}$），P（X=k）=${C}_{8}^{k}$（$\frac{3}{8}$）^k（$\frac{5}{8}$）^8-k，k=0，1，2，3．
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

E（X）=3×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{8}$．                     …（13分）

点评 本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题．