Question

2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，连结EO，则OE∥SD，从而∠AEO是AE与SD所成角（或所成角的补角），由此能求出AE与SD所成角的余弦值．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，连结EO，
∵正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，
∴设AB=BC=CD=AD=SA=SB=SC=SD=2，
则OE∥SD，且OE=$\frac{1}{2}SD=1$，
∴∠AEO是AE与SD所成角（或所成角的补角），
∵AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AEO=$\frac{A{E}^{2}+O{E}^{2}-A{O}^{2}}{2×AE×EO}$
=$\frac{3+1-2}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AE与SD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．