Question

（本小题满分14分）
已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.
（1）求的值；
（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
（3）若，且，求证：N

Answer 1

（1）（2）当时，取任意实数, 函数有极小值点；
当时，，函数有极小值点，有极大值点.
(其中, )
（3）① 当时，左边，右边，不等式成立；② 假设当N时，不等式成立，即，
则

  
. 
也就是说，当时，不等式也成立.
由①②可得，对N，都成立.

解析试题分析：（1）解：∵关于的不等式的解集为，
即不等式的解集为，
∴.
∴.
∴.
∴.    
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为.
∴. 
方程（*）的判别式
.  
①时，，方程（*）的两个实根为
 
则时，；时，.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点.
②当时，由,得或，
若，则
故时，，
∴函数在上单调递增.
∴函数没有极值点. 
若时，
则时，；时，；时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点，有极大值点.
综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；
当时，，函数