Question

（本题满分16分）已知数列的前项和满足：（t为常数，且）．
（1）求的通项公式；
（2）设，试求t的值，使数列为等比数列；
（3）在（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对
任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）见解析（3）

（1）当时，，得．   2分
当..时，由，即，①
得，，②
①②，得，即，所以，
所以是首项和公比均为t的等比数列，于是．       5分
（2）由（1）知，，即，      7分
要使数列为等比数列，必须满足，
而，
于是，解得，    
当时，，
由，知是首项和公比均为的等比数列．      10分
（3）由（2）知， ，
所以，                   
由不等式恒成立，得恒成立，       12分
设，由，
所以当时，，当时，，        14分
而，所以，即．  
故k的取值范围是．       16分
【命题意图】本题考查等比数列、数列前项和等知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.