Question

18．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，从而得到M（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b$），由MF₁⊥MF₂，利用$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=0$即可求出椭圆的离心率．

解答 解：如图，椭圆上的一点M满足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，
不妨设M在第一象限，过M作MN⊥x轴，交x轴于N，
∴N是OA的中点，则M点横坐标为$\frac{a}{2}$，M点纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
即M（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b$），又F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=（\frac{a}{2}+c，\frac{\sqrt{3}}{2}b）•（\frac{a}{2}-c，\frac{\sqrt{3}}{2}b）$=$\frac{{a}^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}=0$，
∴4c²=a²+3b²=a²+3a²-3c²，即4a²=7c²，得2a=$\sqrt{7}$c，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，合理运用MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|是关键，是中档题．