Question

8．已知函数f（x）=lnx-ax在x=2处的切线l与直线2x-y-3=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+m=2x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，即可求得a的值；
（2）由题意可得即有-m=lnx-3x+x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根．令g（x）=lnx-3x+x²，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，再求g（$\frac{1}{2}$），可得m的不等式，即可得到m的范围

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
即有在x=2处的切线l的斜率为$\frac{1}{2}$-a，
由切线l与直线2x-y-3=0垂直，
即有$\frac{1}{2}-a=-\frac{1}{2}$
解得a=1；
（2）关于x的方程f（x）+m=2x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，
即有-m=lnx-3x+x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根．
令g（x）=lnx-3x+x²，g′（x）=$\frac{1}{x}$-3+2x=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
易得当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=1处g（x）取得最小值，且为-2，
又g（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{5}{4}$，
由题意可得，-2＜-m≤-ln2-$\frac{5}{4}$
解得ln2+$\frac{5}{4}$≤m＜2．

点评 本题考查导数的运用，考查切线的斜率，考查单调区间、极值和最值的求解，考查函数和方程的转化思想，属于中档题．