Question

19．在（${\frac{1}{{\sqrt{x}}}$-3）ⁿ，（n∈{N^*）的展开式所有项系数的和为16，求$\frac{1}{x}$的系数为54．

Answer 1

分析 在二项式中令x=1可得展开式所有项系数的和，由此求出n的值，再利用展开式的通项求出含$\frac{1}{x}$项的系数．

解答 解：在${（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}-3}）^n}$中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（-2）ⁿ，
又由题意可得，（-2）ⁿ=16，则n=4，
则${（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}-3}）^4}$的展开式的通项为：
${T_{r+1}}=C_4^r{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^{4-r}}{（{-3}）^r}$，
令4-r=2，可得r=2，
则含$\frac{1}{x}$的项为：
${T_3}=C_4^2{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^2}{（{-3}）^2}=\frac{54}{x}$，
所以$\frac{1}{x}$的系数为54．
故答案为：54．

点评 本题主要考查了求二项式各项系数和的方法与展开式通项公式的应用问题，是基础题目．