Question

7．已知△ABC的面积是S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S．
（1）求sinA的值；
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积以及三角函数基本关系式得到所求；
（2）将等式平方，求出AC，结合正弦定理和余弦定理求sinB．

解答 解：（1）由已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S=AB×ACcosA=$\sqrt{2}×$$\frac{1}{2}AB×ACsinA$，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA=cosA，又sin²A+cos²A=1，
解得sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|²=12，${\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}=12$，所以9-3$\sqrt{2}$×AC×sinA+AC²=12，由（1）得解得AC=b=$\sqrt{3}+\sqrt{6}$，
在三角形ABC中，a²=b²+c²-2bccosA=9+9+3$\sqrt{2}$-2×3×（$\sqrt{3}+\sqrt{6}$）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=12，所以a=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积以及利用正弦定理和余弦定理解三角形；计算较复杂．