Question

15．已知函数f（x）=x⁴-2x³，g（x）=-4x²+4x-2，x∈R．
（1）求f（x）的最小值；
（2）证明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=4x³-6x²=2x²（2x-3），利用导数研究其单调性极值即可得出．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-2x³+4x²-4x+2，x∈R．可得F′（x）=4x³-6x²+8x-4．由于F^″（x）=12x²-12x+8＞0．可得函数F′（x）在R上单调递增，函数F′（x）在R上至多存在一个零点．又F′（0）=-4＜0，F′（1）=2＞0，可得函数F′（x）在R上存在一个零点x₀∈（0，1）．只要证明F（x）_min=F（x₀）＞0，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=4x³-6x²=2x²（2x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令f′（x）≤0，解得：x≤$\frac{3}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
故f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{81}{16}$-2×$\frac{27}{8}$=-$\frac{27}{16}$；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-2x³+4x²-4x+2，x∈R．
则F′（x）=4x³-6x²+8x-4．
∴F^″（x）=12x²-12x+8=12$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5＞0．
∴函数F′（x）在R上单调递增，∴函数F′（x）在R上至多存在一个零点．
又F′（0）=-4＜0，F′（1）=2＞0，
∴函数F′（x）在R上存在一个零点x₀∈（0，1）．
∴2${x}_{0}^{3}$-3${x}_{0}^{2}$+4x₀-2=0．
∴函数F（x）在（-∞，x₀）上单调递减；在（x₀，+∞）上单调递增．
∴F（x）_min=F（x₀）=${x}_{0}^{4}$-2${x}_{0}^{3}$+$4{x}_{0}^{2}$-4x₀+2=$（\frac{1}{2}{x}_{0}-\frac{1}{4}）$（2${x}_{0}^{3}$-3${x}_{0}^{2}$+4x₀-2）+$\frac{5}{4}$${x}_{0}^{2}$-2x₀+$\frac{3}{2}$
=$\frac{5}{4}（{x}_{0}-\frac{4}{5}）^{2}$+$\frac{3}{10}$＞0，
∴f（x）＞g（x）．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值、函数零点、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．