Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围；
（2）求证：ln ＜ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由题意知f′（x）=a﹣ ≥0在区间[1，+∞）上恒成立，

所以a≥ ，又y= 在区间[1，+∞）上递减，所以 =1，

即实数a的取值范围为[1，+∞）

（2）证明：取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，

所以，当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，

因为1+ ＞1，（n∈N*），

所以ln（1+ ）＜1+ ﹣1= ，

即ln ＜

【解析】（1）问题转化为a≥ ，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出lnx＜x﹣1，根据1+ ＞1，（n∈N*）证明结论即可．