Question

【题目】在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l的参数方程是 （t为参数）．

∴直线l消去参数t得： ，

∴直线l的普通方程为 ，

∵曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4．

（2）解：在曲线C上任取一点P，可设其坐标为P（2cosθ，2+2sinθ），

P到直线l的距离d= = =2cos（ ）+2≤4，

当且仅当 +2kπ（k∈Z）时等号成立，

曲线C上的点到直线l的距离最大值为4

【解析】（1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）在曲线C上任取一点P（2cosθ，2+2sinθ），利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出曲线C上的点到直线l的距离最大值．