Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围；
（2）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

由题意可得 在区间[1，+∞）上恒成立，

所以a≥（ ）max，又y= 在区间[1，+∞）上递减，

所以（ ）max=1，

即实数a的取值范围为[1，+∞）

（2）证明：取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，

所以，当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，

因为 ，

所以 ，即 ，

所以： ， ，

ln ＜ ，…， ，ln ＜ ，

所以： ，

ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn+ln（n+2）﹣ln（n+1）＜1+ + +…+ ，

即 ，得证

【解析】（1）由题意可得 在区间[1，+∞）上恒成立，所以a≥（ ）max，由单调性可得最大值，即可得到a的范围；（2）取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，可得当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，因为 ，所以 ，即 ，运用累加法，以及对数的运算性质即可得证．