Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根 （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（﹣x+3）=f（x﹣1），

∴对称轴是x=1，

得到﹣ =1 ①

∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根，

即ax2+（b﹣2）x=0有两个相等的实数根，

∴△=（b﹣2）2=0，∴b=2，代入①，

解得a=﹣1，

∴f（x）=﹣x2+2x；

（Ⅱ）∵f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，

∴4n≤1，即n≤ ，

而抛物线y=﹣x2+2x的对称轴为x=1，

∴当n≤ 时，f（x）在[m，n]上为增函数．

若满足题设条件的m，n存在，

则 ，即 又m＜n≤ ．

∴m=﹣2，n=0，这时，定义域为[﹣2，0]，值域为[﹣8，0]．

由以上知满足条件的m，n存在，m=﹣2，n=0

【解析】（Ⅰ）由方程ax2+bx﹣2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x﹣1）=f（3﹣x）知此函数图象的对称轴方程为x=﹣ =1，得a，从而求得f（x）．（Ⅱ）由f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，知4n≤1，即n≤ ．由对称轴为x=1，知当n≤ 时，f（x）在[m，n]上为增函数，得到关于m，n的方程组，最后看是否满足m＜n≤ 即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．