Question

【题目】已知抛物线 ： ， 为 上一点且纵坐标为 ， ， 是 上的两个动点，且 ．

（1）求过点 ，且与 恰有一个公共点的直线 的方程；
（2）求证： 过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，显然直线 符合题意；

当 时，设 的方程为 ，由

得 ，令 ，解得 ，

于是 ，所以 的方程为 或

（2）解：设 ， ，于是 ，

于是直线 的方程为 ，

即 ①，又 ，所以 ，

易得 ， ，于是 ．

即 ，与①联立，消去 ，

得 ，令 ，得 ，故过定点

【解析】(1)分情况讨论直线斜率存在和不存在，当斜率不存在时结合题意可得满足。当斜率存在时由直线方程的点斜式设出方程再与抛物线的方程联立，消元得到关于y的方程根据题意直线和抛物线相切进而方程的判别式等于零，即可求出m的值进而得到直线的方程。(2)根据题意分别求出点P、Q的坐标，然后求出直线QR的斜率由直线的点斜式求出直线的方程，整理化简再结合两直线垂直斜率之积等于-1得到关于y1和y2的代数式，利用整体思想结合代数式的几何意义的出x、y的值，进而可得QR过定点。