Question

【题目】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心O距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（Ⅰ）求f（t）的单调减区间；
（Ⅱ）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知：每转一圈需要6min，摩天轮的半径为40m，可得 = ，

其中心O距离地面40.5m，即h=40.5，φ=﹣ ．

故函数f（t）的解析式：f（t）=40sin（ ）+40.5．

由 ，（k∈N）

解得：3+6k≤t≤6+6k．

故f（t）的单调减区间为[3+6k，6+6k]，（k∈N）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（t）=40sin（ ）+40.5=40.5﹣40cos（ ）

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3﹣（40cos（ ）﹣40cos[ （t+2）]﹣40cos[ （t+4）]

=121.5﹣40cos ﹣40cos（ ）﹣40cos（ ）．

∵cos +cos（ ）+cos（ ）=cos ﹣ cos（ ）﹣ sin ﹣cos（ ）+ =0

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5

故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

【解析】1、根据题意把实际问题转化成数学问题，求得 ω =，f（t）=40sin（ t ）+40.5，由整体思想代入到正弦函数的增区间可得3+6k≤t≤6+6k，即得单调增区间是[3+6k，6+6k]，（k∈N）。
2、由题意可知f（t）+f（t+2）+f（t+4）整理可得121.5﹣40cos t ﹣40cos（ t + ）﹣40cos（ t + ），提出-40整理式子可得cos t +cos（ t + ）+cos（ t + ）再利用两角和差的余弦公式可得上式=0，代入原式f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5
故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值。
【考点精析】本题主要考查了正弦函数的单调性的相关知识点，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数才能正确解答此题．