Question

【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆煌一个“太极函数”下列有关说法中：
①对圆O：x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数f（x）=sinx+1是圆O：x2+（y﹣1）2=1的一个太极函数；
③存在圆O，使得f（x）= 是圆O的太极函数；
④直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0所对应的函数一定是圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=R2（R＞0）的太极函数．
所有正确说法的序号是 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：对①显然错误，如图

对②，点（0，1）均为两曲线的对称中心，且f（x）=sinx+1能把圆x2+（y﹣1）2=1一分为二，正确；

对③，函数为奇函数f（x）= =1+ ，当x→0（x＞0）时，

f（x）→+∞，

当x→+∞时，f（x）→1，[f（x）＞1]，函数递减；

当x→0（x＜0）时，f（x）→﹣∞，

当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，[f（x）＜﹣1]，

函数f（x）关于（0，0）中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，

可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．③不正确；

对于④直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0恒过定点（2，1）的直线，经过圆的圆心，满足题意．④正确；

故所有正确的是②④．

所以答案是：②④．

【考点精析】掌握函数的图象和命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成；图像上每一点坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的某个值，纵坐标y表示与它对应的函数值；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．