Question

19．偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[-3，3]上解的个数是3．

Answer 1

分析 讨论函数y=f（x）奇偶性、周期性和x∈[0，1]时的表达式，可得函数y=f（x）在区间[-1，3]上的图象，由此作出函数y=f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在同一坐标系内区间[0，3]上的图象，结合函数零点存在性定理加以讨论，可得本题答案．

解答 解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1
∴函数y=f（x）在[0，1]上的图象是以（0，1）和（1，0）为端点的线段
∵函数y=f（x）是偶函数，图象关于y轴对称
∴当x∈[-1，0]时，函数图象是以（0，1）和（-1，0）为端点的线段
又∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x），
∴将函数图象在区间[-1，1]上的图象向右平移2个单位，可得区间[1，3]上的图象
因此，作出函数y=f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x区间[0，3]上的图象如图所示
显然它们有一个公共点A（0，1）
∵f（1）=0＜g（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=1＞g（2）=$\frac{1}{4}$，
∴两个图象在（1，2）上有一个公共点B．
同理可得：两个图象在（2，3）上有一个公共点C．
所以函数y=f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在区间[0，3]上的图象总共有3个不同的交点
故答案为：3

点评 本题给出有周期的偶函数f（x），讨论方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在指定区间上零点的个数，着重考查了函数的奇偶性、周期性和函数零点存在性定理等知识，属于中档题．