Question

9．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性（不用证明）；
（3）当t∈R时，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数性质得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，
（2）化简函数，即可作出判断；
（3）由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，变为具体不等式恒成立，从而可转化为函数最值问题解决．

解答 解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=$\frac{1+b}{1+a}$=0，∴b=-1．
又f（-1）=-f（1），得$\frac{\frac{1}{2}+b}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{2+b}{2+a}$，∴a=1．
经检验a=1，b=-1符合题意．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
∴f（x）为R上的增函数．
（3）因为不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，
所以f（t²-2t）＞-f（2t²-k），
因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）＞f（k-2t²），
又f（x）为增函数，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3$（t-\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}≥-\frac{1}{3}$，
所以k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，关于函数的奇偶性、单调性常利用定义解决，而恒成立问题则转化为函数最值问题．