Question

14．设函数g（x）=x²（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）+1，x＜g（x）}\\{g（x）-x，x≥g（x）}\end{array}\right.$，则函数f（x）的值域是（　　）

• A． [-$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [$-\frac{1}{4}$，0]∪（2，+∞）
• D． [-$\frac{1}{4}$，0]∪（1，+∞）

Answer 1

分析 可以通过解不等式求出f（x）在每段上的范围，从而可以得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1}&{x＜0，或x＞1}\\{{x}^{2}-x}&{0≤x≤1}\end{array}\right.$，这样可根据不等式的性质，二次函数取得顶点情况，以及端点值的比较即可得出每一段上的函数的取值范围，最后对求得的取值范围求并集即可得出函数f（x）的值域．

解答 解：由x＜g（x）得，x＜x²；
∴解得x＜0，或x＞1；
由x≥g（x）得，x≥x²；
∴解得0≤x≤1；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1}&{x＜0，或x＞1}\\{{x}^{2}-x}&{0≤x≤1}\end{array}\right.$；
①x＜0时，x²+1＞1；x＞1时，x²+1＞2；
∴f（x）＞1；
②0≤x≤1时，f（x）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$$≥-\frac{1}{4}$；
且f（0）=f（1）=0；
∴$-\frac{1}{4}≤f（x）≤0$；
∴综上得f（x）的值域为$[-\frac{1}{4}，0]∪（1，+∞）$．
故选：D．

点评 考查函数值域的概念，解一元二次不等式，分段函数值域的求法，以及根据不等式的性质，二次函数取得顶点情况，以及端点值的比较从而求函数值域的方法，要熟悉二次函数的图象．