Question

已知（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常数a＞b＞0）．设T_n=a₀+a₂+…+a_2n，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，则下列关于正整数n的不等式中，解集是无限集的是（　　）

• A、T_n＜R_n
• B、T_n＞1.1R_n
• C、R_n＜0.9T_n
• D、R_n＞0.99T_n

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：通过给x赋值，求得T_n 和R_n ，由a＞b＞0，可得T_n＞R_n＞0，故排除A．求得

lim

n→∞

Tn

Rn

=1，由极限的保号性可得，B、C均为有限解，D有无穷解，从而得出结论．

解答： 解：在（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常数a＞b＞0）中，
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1 +a_n=（a+b）²ⁿ  ①，
令x=-1，可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1 +a_2n=（-a+b）²ⁿ  ②．
由①②求得 T_n=a₀+a₂+…+a_2n =

(a+b)2n+(-a+b)2n

2

，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1=

(a+b)2n-(-a+b)2n

2

．
由a＞b＞0，可得T_n＞R_n＞0，故排除A．
由于

lim

n→∞

Tn

Rn

=

lim

n→∞

(a+b)2n+(a-b)2n

(a+b)2n-(a-b)2n

=

lim

n→∞

1+( a-b a+b )2n

1-( a-b a+b )2n

=

1+0

1-0

=1，
由极限的保号性可得，B、C均为有限解，D有无穷解，
故选：D．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，极限的保号性，属于基础题．