Question

由条件a₁=1，a²_n+1-（2-a_n）a_n+1-a_n（a_n+2）=0产生16个项数都为5的数列，则这16个数列的所有项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由韦达定理可得，a_{（n+1）（1）}+a_{（n+1）（2）}=2-a_n，从而可推出这16个数列的第一项之和为16，第二项之和为8，依次可得，从而求和．

解答： 解：由a²_n+1-（2-a_n）a_n+1-a_n（a_n+2）=0得，
a_{（n+1）（1）}+a_{（n+1）（2）}=2-a_n，
则a_{（2）（1）}+a_{（2）（2）}=2-1=1，
a_{（3）（1）}+a_{（3）（2）}+a_{（3）（3）}+a_{（3）（4）}=2-（a_{（2）（1）}+a_{（2）（2）}）=2-1=1，
则这16个数列的所有项的和为：
16a₁+8（a_{（2）（1）}+a_{（2）（2）}）+4（a_{（3）（1）}+a_{（3）（2）}+a_{（3）（3）}+a_{（3）（4）}）+2+1
=16+8+4+2+1=31．
故答案为：31．

点评：本题考查了数列的求和，注意到a²_n+1-（2-a_n）a_n+1-a_n（a_n+2）=0，可由韦达定理推出前后两项之间的关系，从而求解，属于中档题．