Question

(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinx, g(x)＝ax，(a为常数)，若f(x)≥g(x)，对x∈[0, ]恒成立。

（1）求a的最大值；

（2）对任意的锐角三角形ABC，均有sinA＋sinB＋sinC＞M恒成立，求实数M的取值范围．

Answer 1

（1）a的最大值为;（2）M≤2.

【解析】

试题分析：（1）f(x)≥g(x)对x∈[0, ]恒成立,转化成sinx≥ax对x∈[0, ]恒成立.

当x＝0时，sinx≥ax恒成立；

当x∈(0, ]时，等价于a≤恒成立.

设, x∈(0, ],求得

设(x)＝xcosx－sinx，则对x∈(0, ]恒成立，

根据(x)在(0, ]上单调递减，得到(x)min＜(0)＝0，即xcosx－sinx＜0，

得到在(0, ]上恒成立，h(x) 在(0, ]上单调递减，由h(x)min＝h()＝即得.

（2）由（1）知，当x∈(0, )时，有sinx＞x成立，所以对任意锐角△ABC，有

sinA＋sinB＋sinC＞(A＋B＋C)=2,因此M≤2.

试题解析：（1）f(x)≥g(x)对x∈[0, ]恒成立

即sinx≥ax对x∈[0, ]恒成立

当x＝0时，sinx≥ax恒成立 1分

当x∈(0, ]时，等价于a≤恒成立 2分

设h(x)＝, x∈(0, ]

则h ' (x)＝

设(x)＝xcosx－sinx，则 ' (x)＝－xsinx＜0对x∈(0, ]恒成立，

∴(x)在(0, ]上单调递减，

(x)min＜(0)＝0，即xcosx－sinx＜0，

∴h ' (x)＞0在(0, ]上恒成立，

∴h(x) 在(0, ]上单调递减

∴h(x)min＝h()＝ 7分

所以a≤，a的最大值为 8分

（2）由（1）知，当x∈(0, )时，有sinx＞x成立，所以对任意锐角△ABC，有

sinA＋sinB＋sinC＞(A＋B＋C)

∵A＋B＋C＝π， ∴sinA＋sinB＋sinC＞2，

所以M≤2 12分

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.不等式恒成立问题；3.等价转化思想.