【题目】已知函数f(x)=4x﹣a2x+1+a+1,a∈R.
(1)当a=1时,解方程f(x)﹣1=0;
(2)当0<x<1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:a=1时,f(x)=4x﹣22x+2,
f(x)﹣1=(2x)2﹣2(2x)+1=(2x﹣1)2=0,
∴2x=1,解得:x=0
(2)解:4x﹣a(2x+1﹣1)+1>0在(0,1)恒成立,
a(22x﹣1)<4x+1,
∵2x+1>1,
∴a> ,
令2x=t∈(1,2),g(t)= ,
则g′(t)= =
=0,
t=t0,∴g(t)在(1,t0)递减,在(t0,2)递增,
而g(1)=2,g(2)= ,
∴a≥2
(3)解:若函数f(x)有零点,
则a= 有交点,
由(2)令g(t)=0,解得:t= ,
故a≥
【解析】(1)将a=的值代入,将2x看作一个整体,解出2x的值,从而求出x的值即可;(2)问题转化为a> ,令2x=t∈(1,2),g(t)=
,根据函数的单调性求出g(t)的最大值,从而求出a的范围即可;(3)问题转化为a=
有交点,根据(2)求出a的范围即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】已知命题R,p:x∈R使 ,命题q:x∈R都有x2+x+1>0,给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题
②命题“命题“p∨q”是假命题
③命题“p∨q”是真命题
④命题“p∨q”是假命题
其中正确的是( )
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②③
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【题目】在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差(单位:分)与物理偏差
(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差 | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差 | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知与
之间具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式: ,
,
参考数据: ,
.
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【题目】随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查人,并将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | |||||
频数 | |||||
赞成人数 |
(1)世界联合国卫生组织规定: 岁为青年,
为中年,根据以上统计数据填写以下
列联表:
青年人 | 中年人 | 合计 | |
不赞成 | |||
赞成 | |||
合计 |
(2)判断能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为赞成“车柄限行”与年龄有关?
附: ,其中
独立检验临界值表:
(3)若从年龄的被调查中各随机选取
人进行调查,设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为
,求随机变量
的分布列和数学期望
.
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【题目】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量 =(a,
b)与
=(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】已知公差不为0的等差数列{an}满足:a1=1且a2 , a5 , a14成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn;
(2)证明不等式 且n∈N*)
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【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组 | 频数 | 频率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合计 | 1 |
(1)求出表中及图中
的值;
(2)试估计他们参加社区服务的平均次数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至少1人参加社区服务次数在区间内的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
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