Question

17．已知数列{a_n}满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），a₃=5，其前7项和为42，设数列{b_n}是等比数列，b₁=a₁-1，b₂=a₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$，d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$=n，d_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d．
∵a₃=5，其前7项和为42，∴a₁+2d=5，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=42，
解得a₁=3，d=1．∴a_n=3+（n-1）=n+2．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₁=a₁-1=2，b₂=a₄=6，∴q=3．
∴b_n=2×3^n-1．
（2）c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$=n，
d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{d_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数原式性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．