Question

5．已知数列{a_n}满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），a₂=4，其前7项和为42，设数列{b_n}是等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n满足b₁=a₁-1，S₃₀-（3¹⁰+1）S₂₀+3¹⁰S₁₀=0．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$，d_n=$\frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}$+$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：数列{d_n}的前n项和T_n≥$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），可得数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出a_n．设等比数列{b_n}的公比为q，b₁=a₁-1=2，S₃₀-（3¹⁰+1）S₂₀+3¹⁰S₁₀=0．可得$\frac{{S}_{30}-{S}_{20}}{{S}_{20}-{S}_{10}}$=3¹⁰=q¹⁰，解得q，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=n，d_n=$\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}$=2+2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d．
∵a₂=4，其前7项和为42，∴a₁+d=4，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=42，
解得a₁=3，d=1．∴a_n=3+（n-1）=n+2．
设等比数列{b_n}的公比为q，b₁=a₁-1=2，
S₃₀-（3¹⁰+1）S₂₀+3¹⁰S₁₀=0．
∴$\frac{{S}_{30}-{S}_{20}}{{S}_{20}-{S}_{10}}$=3¹⁰=q¹⁰，解得q=3．
∴b_n=2×3^n-1．
（2）证明：c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$=n，
d_n=$\frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}$+$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}$=2+2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{d_n}的前n项和T_n=2n+2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2n+3-2$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
可得：数列{T_n}是单调递增数列，∴T_n≥T₁=5-2×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列单调性、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．