Question

7．已知f₁（x）=sinx+cosx，
f₂（x）=f₁′（x），
f₃（x）=f₂′（x），
…
f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2）．
则${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$的值为0．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的运算法则可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，利用函数的周期性可知f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=（cosx-sinx）+（-sinx-cosx）+（-cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，即可求得${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$=0．

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
即f_n（x）是周期为4的周期函数，
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=（cosx-sinx）+（-sinx-cosx）+（-cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，
∵2016=504×4
${f_1}（\frac{π}{4}）+{f_2}（\frac{π}{4}）+…+{f_{2016}}（\frac{π}{4}）$=0，
故答案为：0．

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，考查导数的运算，属于基础题．