Question

19．给出下列命题
①若奇函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数
②根据表中数据，可以判定方程e^x-x-6=0的一个根所在的区间为（1，2）

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

③已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时f（x）=e^x-ax，若f（x）在R上有且只有4个零点，则a的取值范围为（e，+∞）
④实数a在区间（1，4）上随机取值时，函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数的概率为$\frac{1}{3}$，其中真命题是①③④．

Answer 1

分析 对于①由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得证．
对于②根据函数零点定理即可判断．
对于③首先判断x=0不是零点，其次说明函数f（x）在x＞0和x＜0上均有两个零点，对x＞0的函数f（x）求导，对a讨论，说明a≤0不可能，a＞0时，求出单调区间，求出极小值，令它小于0，解出a的范围，
对于④由题意，属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的a的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求．

解答 解：对于①（1）∵f（x）=f（2-x），∴f（x+2）=f（2-（x+2））=f（-x）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=-f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，故正确，
对于②解：令f（x）=e^x-x-6，
由表知f（2）=7.39-8＜0，f（3）=20.09-9＞0，
∴方程e^x-x-6=0的一个根所在的区间为（2，3），故不正确，
对于③∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，
∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零点，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零点个数，
∵函数f（x）在R上有且仅有4个零点，
∴f（x）在x＞0上有且只有2个零点，
∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，
导数f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在x≥0上单调增，不可能有两个零点，
当a＞0时，可得f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna），
则f（lna）为极小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，
解得，a＞e，
故a的取值范围是（e，+∞），故正确，
对于④：∵函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数，
∴≤1，
∴a≤2，
∵实数a在区间[1，m]（m＞1）随机取值，
∴1≤a≤2，长度为1，
∵函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数的概率为$\frac{1}{3}$，
∴1≤a≤m，长度为3，
∴m=4，
∴a∈（1，4），故正确，
故其中真命题是①③④，
故答案为：①③④

点评 本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查函数的零点的概念和个数的判断，考查运用导数求函数的极值，考查几何概型，考查二次函数的单调性弄清极值与0的关系，是解题的关键．