Question

10．底面是正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中，面积最大的侧面的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据三视图画出几何图形的直观图，结合图形分别求出四棱锥的四个侧面面积，即可得出侧面中最大的侧面面积．

解答 解：如图所示，
由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面ABCD是边长为1的正方形，高为1的四棱锥；
△PAD是直角三角形，且直角边AD=1，PD=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
S_△PAD=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
S_△PBC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
△PAB中，AB=1，PA=$\sqrt{{1}^{2}{+（1}^{2}{+1}^{2}）}$=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{5}）}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
cos∠PAB=$\frac{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}{-（\sqrt{6}）}^{2}}{2×\sqrt{3}×1}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
所以四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，面积是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了三视图的识别和应用以及锥体的表面积计算问题，也考查了线面垂直和面面垂直的应用问题，考查了推理与计算能力．