Question

12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$（{2b-\sqrt{2}c}）cosA=\sqrt{2}acosC$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，$cosB=\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，进而可求A；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinC，利用正弦定理可求b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（1）∵由$（{2b-\sqrt{2}c}）cosA=\sqrt{2}acosC$，及正弦定理可得：2sinBcosA-$\sqrt{2}$sinCcosA=$\sqrt{2}$sinAcosC，
整理得：$\sqrt{2}$sin（A+C）=$\sqrt{2}$sinB=2sinBcosA，
由于sinB≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{4}$；
（2）∵a=1，$cosB=\frac{4}{5}$，A=$\frac{π}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×$$\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×$$\frac{3\sqrt{2}}{5}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{21}{50}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．