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    【题目】已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.

    【答案】

    【解析】

    设A和B分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S（M）表示数集M中所有数的和，并将满足①式的正整数记为.

    把集合A分成如下两个不交子集和.

    我们有.

    对任意，令，则是到的双射.

    由此得，从而.

    又对任意，令，

    则g是B到的双射，其中.

    因为

    所以B中共有个元素，因此

    .

    又令表示A中最高位数的正整数全体，A中其余的数和零所构成的集合记为，

    则.

    对任意，令

    则是B到的双射，其中.

    所以 .

    最后对任意，令.

    则是到B的双射，其中.

    所以

    .

    于是，

    解之得，.

    由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整数的和等于.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

    月收入(单位百元)

    频数

    5

    10

    15

    10

    5

    5

    赞成人数

    4

    8

    12

    5

    2

    1

    (1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99％的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

    月收入不低于55百元的人数

    月收入低于55百元的人数

    合计

    赞成

    a=______________

    c=______________

    ______________

    不赞成

    b=______________

    d=______________

    ______________

    合计

    ______________

    ______________

    ______________

    (2)试求从年收入位于（单位：百元）的区间段的被调查者中随机抽取2人，恰有1位是赞成者的概率。

    参考公式：，其中.

    参考值表：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.

    （1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；

    （2）若，，求多面体的体积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为．已知．

    （1）求椭圆的离心率；

    （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为．

    （1）求动点M轨迹C的方程；

    （2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P．

    求证：平面平面ABCD；

    求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业以下简称外卖A、外卖的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：

    分数

    人数

    种类

    外卖A

    50

    150

    100

    400

    300

    外卖B

    100

    100

    300

    200

    300

    表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：

    分数

    服务质量指标

    0

    1

    2

    3

    视频率为概率，解决下列问题：

    从该市使用过外卖A的市民中任选5人，记对外卖A服务质量评价较高的人数为X，求X的数学期望．

    从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；

    在M市工作的小王决定从外卖A、外卖B这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标平面上的一列点简记为，若由构成的数列满足，（其中是与轴正方向相同的单位向量），则称为“点列”.

    （1）试判断：，...是否为“点列”？并说明理由.

    （2）若为“点列”，且点在点的右上方.任取其中连续三点，判断的形状（锐角，直角，钝角三角形），并证明.

    （3）若为“点列”，正整数满足：，且，求证：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，记．

    （1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

    （2）证明：“数列单调递增”是“”的充要条件；

    （3）若对任意恒成立，证明：数列的通项公式为．

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