Question

设p：若不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈R成立；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴正半轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：若不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈R成立，则△≤0，解得a；命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与与x轴正半轴交于不同的两点，则

- 2a-3 2 ＞0 f(- 2a-3 2 )＜0 f(0)＞0

，解得a．由于p且q为假命题，p或q为真命题，可得p与q必然一真-假．

解答： 解：命题p：若不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈R成立，则△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2；
命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与与x轴正半轴交于不同的两点，则

- 2a-3 2 ＞0 f(- 2a-3 2 )＜0 f(0)＞0

，解得a＜

1

2

．
∵p且q为假命题，p或q为真命题，
∴p与q必然一真-假．
p真q假时，

-2≤a≤2 a≥ 1 2

，解得

1

2

≤a≤2．
q真p假时，

a＞2或a＜-2 a＜ 1 2

，解得a＜

1

2

．
综上可得：a的取值范围是(-∞，

1

2

)∪[

1

2

，2]．

点评：本题考查了二次函数的性质、复合命题的真假判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．