Question

正三棱锥的高为1，底面边长为2

6

，此三棱锥内有一个球和四个面都相切．
（1）求棱锥的全面积；
（2）求球的直径．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=

2

，侧面的高PE=

3

由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

解答： 解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴

1-R

3

=

R

2

，
∴R=

6

-2，
∴2R=2

6

-4．

点评：本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．